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让微积分穿梭于工作与学习之间(17):圆弧直线在端点处的切线及其在趋于直

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发表于 2020-1-26 14:00:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
对CAD圆弧直线不了解的朋友可以先阅读以下博文:
https://blog.csdn.net/iloveas2014/article/details/103837857
https://blog.csdn.net/iloveas2014/article/details/103848611
在上篇的末尾,我提到了线条端点处的切线在寻找封闭图形中的重要性,但没给出任何解释,为此我转发一篇博文。
https://blog.csdn.net/keng_s/article/details/67102867
大家在阅读的过程中可以看到其中的一步是要对线条进行角度排序。对于直线线段来说,角度取两点的连线即可,而曲线则不能再取连线了。大家看下面的图。

我们想要把AB,弧AC,AD三条线在A端点处按顺时针排序,正确的结果是AB,AC,AD,但若用连线AC来作为排序依据的话,那么顺序就变成AC,AB,AD了。

 
所以要改用弧AC在A点处的切线AC'来计算角度,如下图所示。

下面我们来尝试计算圆弧直线在端点上的切线斜率,显然当圆弧的凸度趋于0时,圆弧变为直线,切线跟连线的方向一致,如下面的动图所示。

求切线斜率,相信大家都会想到用求导的方法,不过圆弧是多值函数,所以计算的方法也特殊一些。
总的来说,要计算这种曲线的切线及其趋于直线时的极限,我想到的方法有3种:
1 利用圆弧切线的几何性质——跟切点上的半径垂直进行计算,然后计算bulge趋于0时的极限
2 对圆弧直线的一般方程进行隐函数的求导
3 把圆弧直线的一般方程看作二元函数,然后求出其偏导数,再根据以下公式求得y对x的导数

方法2和方法3其实都是隐函数的求导,只是3更为简便,同时也更难理解,毕竟涉及了二元函数。
此处我们使用方法2。感兴趣的朋友可以自行用方法1或者方法3来推导,也可以留言跟我讨论。
我们把二元二次方程的一般式搬过来,在最普通的情况下进行求导。然后,圆和直线都不包含xy项,可以省略

两侧对x进行求导,得到

然后我们把圆弧曲线中对应的系数代进去


至此,圆弧直线在线上任一点(x,y)的切线斜率就算出来了。
然而这个式子还是蛮复杂的,但是我们用得最多的一般都是起点和终点,那么我们分别把(sx,sy)和(ex,ey)代进去算一下。

看着还是蛮复杂,但是起点和终点都是常量,因此在编程的时候我们可以把起点和终点的差值用一个向量(Δx,Δy)存起来从而让代码更清晰。那么这里的公式也能简写为

这样就简洁多了,类似地,终点的导数结果为

y's,y'e这两个导数值的意义是圆弧在S和E处的切线斜率,如下图的红线和蓝线所示。

然后我们算一下它们在b趋于0的时候等于多少。

它们在凸度趋于0的时候都等于起点和终点连线的斜率,跟我们的期望完全一致。
然而问题并没到此结束,因为算出来的切线没有方向,而进行角度排序的时候我们需要给出的是指定方向的切线向量,如下图所示,我们要的是AC'和水平线的夹角而非AC''

切线斜率并没有给出它们的方向,所以在项目里我用的是方法1,从而更好地对x和y的方向分别进行把控。
那么此处我就不在推导的情况下给出切线向量的结果,其实只是把导数结果拆出来,并且根据不同情况对xy给出不同的符号
起点的切线向量为

终点的切线向量为

跟导数的分子分母对照下,可以发现,起点刚好是把分子分母拆开,而终点则是把分子分母拆开后再分别取反。所以说这地方其实还是存在着很微妙的规律,就留给读者们慢慢品味了。
下篇我会给大家讲解圆弧直线的等分公式及其在趋于直线时的极限,敬请期待!
 
 
                                                                                                                        
                                                    
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发表于 2020-1-28 16:44:59 | 显示全部楼层
这东西我收了!谢谢楼主![www.12360.co]
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发表于 2020-1-29 12:42:12 | 显示全部楼层
其实我一直觉得楼主的品味不错!呵呵![www.12360.co]
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发表于 2020-2-3 11:04:28 | 显示全部楼层
楼主,大恩不言谢了![www.12360.co]
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